Exercici 1:
En un hospital s'ha subministrat diferents dosis d'un medicament antifebrigen a $10$ pacients (amb febre alta) i s'ha mesurat el temps necessari per normalitzar la temperatura. Els resultats figuren a la taula de sota
Designant amb $Y$ a la variable estadística temps, i amb $X$ a la variable estadística dosi, us demanem:
a) La representació gràfica del núvol de punts $\left{P(x_i,y_i)\rigth}$
b) El valor de la covariància $\sigma_{xy}$ entre $X$ i $Y$
c) El valor de la variància $\sigma_{x}^2$ de la variable $X$
d) El valor de la mitjana aritmètica $\bar{x}$ de la variable $X$
e) El valor de la mitjana aritmètica $\bar{y}$ de la variable $Y$
f) El valor del coeficient de correlació lineal (o de Pearson) entre les variables $X$ i $Y$
g) L'equació de la recta de regressió lineal de $Y$ sobre $X$ en forma explícita ( $y=a+b\,x$ ), concretant els valors dels coeficients $a$ i $b$, i explicant la relació que tenen aquests coeficients amb els paràmetres esmentats als apartats anteriors.
h) Representeu la recta de regressió lineal calculada a l'apartat anterior damunt del núvol de punts que heu dibuixat al primer apartat.
i) Per a una dosi de $25 \; \text(mg)$, quin temps estimat $\hat{y}$ li correspon ? Interpreteu el resultat de forma crítica.
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Exercici 2:
La taula de sota mostra els valors d'una variable estadística contínua $X$, agrupats en intervals (classes):
Us demanem:
a) l'histograma de freqüències ( $f$ enfront de $X$ )
b) l'histograma de freqüències acumulades ( $F$ enfront de $X$ )
c) el valor del mode (o moda) $M_{0}$
d) el valor de la mediana $M$ ( o segon quartil )
e) el valor del primer quartil $Q_1$
f) el valor del tercer quartil $Q_3$
g) el valor del rang
h) el valor del interquartílic
i) dibuixeu el diagrama de caixa i bigotis i comenteu què en podem concloure sobre la distribució dels valors de $X$ (a nivell qualitativament)
j) el valor de la mitjana aritmàtica $\bar{x}$
k) el valor de la desviació estàndard $\sigma$
l) el tant per cent de valors (sobre el total) tals que $X \le 67$
m) el tant per cent de valors (sobre el total) tals que $X \le 22$
n) el tant per cent de valors (sobre el total) tals que $22 \le X \le 67$
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Solucions de l'exercici 1:
d) $\bar{x}=11$
e) $\bar{y}=77,6$
b)
Tenint en compte que
$\displaystyle \sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}\,y_{i}\,f_{i} - \bar{x}\,\bar{y}$
on $N=10$, $n=10$, $f_i=1$ ( $i=1,\ldots\,10 $)
sabent també (calculadora) que
$\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}\,y_{i}\,f_{i}=6466$
i tenint en compte els resultats dels apartats d i e, trobem que
$\sigma_{xy}=-207$
Comentari: el valor negatiu de la covariància mostra el fet que si $X$ creix/decreix, llavors $Y$ decreix/creix
c)
De la calculadora (havent entrat les dades) trobem directament
el valor de $\sigma_{x} \approx 5,74$
i, per tant, elevant al quadrat (amb totes les xifres decimals en pantalla), trobem
$\sigma_{x}^2 = 33$
f)
El coeficient de correlació lineal (o de Pearson) es calcula fent
$r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\,\sigma_{y}}$
no obstant, consultant les funcions estadístiques de la calculadora científica (havent entrat les dades), podem veure directament el seu valor
$r \approx -0,9843$
Observació: El valor negatiu de $r$ és concordant amb el valor negatiu de $\sigma_{xy}$; el pendent de la recta de regressió ha de ser negatiu.
g)
Els coeficients de l'equació en forma explícita de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$
$y=a+b\,x$
es poden consultar directament a la calculadora (havent entrat les dades):
$a \approx 146,6$
$b \approx -6,3$
on
i) $b=\dfrac{\sigma_{xy}{}}{\sigma_{x}^2}$
ii) &nbps $a=\bar{y}-b\,\bar{x}$
Llavors, l'equació de la recta de regressió és
$r:\,y=146,4-6,3\,x$
h)
Per representar la recta de regressió, trobem les coordenades de dos punts de $r$; i, en particular, per comoditat i sentit pràctic, escollim els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades
$A(0,147)$
i
$B(x_{0},0)$
on $x_0$ designa l'arrel de la funció $f(x)=146,6-6,3\,x$
que és igual a
$x_0 \approx 23,3$
Observem, doncs, que el domini significatiu de la funció de regressió és l'interval
$\left[0\,,\,23,3\right]$
i)
És ben clar que $25$ no pertany al domini de la funció: el valor de dosi $x=25$ queda a la dreta de $x_0$ [l'arrel de la recta de regressió (per a una dosi d'aquest valor, el temps necessari per restablir la temperatura és - teòricament - nul] i, per tant, no caldria subministrar més quantitat de medicament que $23,3 \, \text{mg}$
Observació:
De fet, si calculem $\hat{y}$ per a $x=25$ trobem - lògicament - un resultat absurd: un valor negatiu del temps de restabliment de la temperatura.
$\square$
Solucions de l'exercici 2:
a) [histograma]
b) [histograma]
c)
Consultant l'histograma de freqüències ( $f$ enfront de $X$ ), veiem que
$40 < M_{0} < 60$
és a dir
$M_{0}=40+a$
plantejant la proporció corresponent als costats corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les abscisses i ordenades, calculem el valor de $a$
$a=\dfrac{10}{3}$
i, per tant, trobem que
$M_{0}=40+\dfrac{10}{3}$
quantitat que, aproximada, queda
$M_{0} \approx 43$
d)
Consultant l'histograma de freqüències acumulades ( $F$ enfront de $X$ ), ens adonem que [ entrant a l'eix de les freqüències amb el valor $F=250 \div 2 = 125$ ]
$40 < M <60$
i, amb més precisió
$M=40+b$
Calculem el valor de $b$ plantejant la proporció corresponent als costats
corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les
abscisses i ordenades, i trobem
$b=\dfrac{15}{4}$
Llavors
$M=40+\dfrac{15}{4}$
i, per tant,
$M \approx 44$
e)
Consultant l'histograma de freqüències acumulades ( $F$ enfront de $X$ ), ens adonem que [ entrant a l'eix de les freqüències amb el valor $F=250 \div 4 = 62,5$ ]
$20 < Q_{1} <40$
i, amb més precisió
$Q_{1}=40+c$
Calculem el valor de $c$ plantejant la proporció corresponent als costats corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les abscisses i ordenades, i trobem
$c=\dfrac{44,8}{7}$
Llavors
$Q_{1}=20+\dfrac{44}{8}$
i, per tant,
$Q_{1} \approx 26$
f)
Consultant l'histograma de freqüències acumulades ( $F$ enfront de $X$ ), ens adonem que [ entrant a l'eix de les freqüències amb el valor $F=125+250 \div 4 = 187,5$ ]
$40 < Q_{3} < 60$
i, amb més precisió
$Q_{3}=40+d$
Calculem el valor de $d$ plantejant la proporció corresponent als costats corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les abscisses i ordenades, i trobem
$d=\dfrac{77,5}{4}$
Llavors
$Q_{3}=40+\dfrac{44}{8}$
i, per tant,
$Q_{3} \approx 59$
g)
$\text{rang}=x_{màx}-x_{mín}$ i, per tant, és igual a $120$
h)
$\text{RIQ}=Q_{3}-Q_{1}$ i, per tant, és igual a $33$
i) [ diagrama de caixa i bigotis ]
j)
Entrant les marques de classe $\{10,30,50,70,90,110\}$ amb les respectives freqüencies
$\{40,70,80,30,20,10\}$ podrem consultar els paràmetres estadístics amb les funcions estadístiques de la calculadora científica
$\bar{x}=46$
k)
consultant els paràmetres estadístics amb les funcions estadístiques de la calculadora científica
$\sigma_{x} \approx 26$
l)
consultant l'histograma de freqüències acumulades (atenció al poligon de freqüencies), entrant a l'eix horitzontal amb el valor de $X=67$, trobem que el nombre de valors inferiors a aquest valor és igual a (cal fer la proporció necessària, si cal) $201$, que correspon a un $80 \, \text{\%}$
m)
consultant l'histograma de freqüències acumulades (atenció al poligon de freqüencies), entrant a l'eix horitzontal amb el valor de $X=22$, trobem que el nombre de valors inferiors a aquest valor és igual a (cal fer la proporció necessària, si cal) $201$, que correspon a un $22 \, \text{\%}$
n)
Restant els valors obtinguts als apartats l i m, trobem que el nombre de valors de $X$ que es troben entre $X=22$ i $X=67$ és igual a $58 \, \text{\%}$
$\square$
Joan Aranès Clua
