Quadern de Matemàtiques a Secundària

diumenge, 21 / juny / 2009

Proves repetides dependents (exemple per a 1r de Batxillerat)

nota d'autoria

[http://www.xtec.cat/~jaranes/index.htm]

dimarts, 16 / juny / 2009

Un exercici d'estadística descriptiva amb dades agrupades en classes (per a 3r d'ESO)

nota d'autoria

Un exercici d'estadística descriptiva amb dades puntuals (per a 3r d'ESO)

nota d'autoria

dimarts, 9 / juny / 2009

Explorant llocs geomètrics amb GeoGebra: la cicloide

Imaginem, un objecte de contorn circular - per exemple, una tapa d'un pot de cereals - que fem rodar pel terra (sense lliscar) pel costat d'una paret. Entre la paret i el cercle (la tapa del pot) hi posem una tira prou llarga de paper - la podem fixar amb xinxetes - per poder-hi representar la corba que descriurà un punt P del contorn de la tapa circular mentre gira i avança a la vegada; marquem amb un retolador aquest punt P en el contorn de la tapa amb una marca ben visible i, així com va avançant i rodant, anem fent les marques de les posicions del punt P al paper. Després de fer avançar el cercle una longitud suficient al llarg de la paret - és important que avanci rodant, no pas lliscant - podrem enllaçar els punts marcats: el resultat és una corba cicloide.

El següent exercici fet amb GeoGebra està basat en la descripció d'aquest senzill experiment matemàtic: substituïm el paper, el llapis, i la tapa del pot, per l'ordinador i el programa GeoGebra, per resoldre el problema (de trobar la corba) fent ús de geometria dinàmica - de forma més correcta: geometria de la cinemàtica - tot simulant el procediment descrit a dalt. Si feu clic damunt la imatge de sota posareu en marxa l'applet de Java que he generat en preparar el full de treball amb el programa; els detalls els podeu llegir a les notes d'introducció que figuren al començament de l'applet un cop l'haureu obert. Per bé que ja havia fet quelcom semblant amb el programa Cabri-Géomètre, és la primera vegada que provo el programa GeoGebra per reproduir un lloc geomètric - la cicloide és un problema adequat com a primera pràctica - i, ben aviat, espero poder mostrar la reproducció d'altres corbes a partir de la noció de lloc geomètric i la seva simulació amb GeoGebra.

[applet per reproduir la corba cicloide]

nota d'autoria

dijous, 28 / maig / 2009

Algunes dificultats en la comprensió dels principis i mètodes de recompte de possibilitats a l'ESO

Sovint, quan explico als alumnes d'ESO els principis de recompte (d'addició, de multiplicació o independència, d'inclusió-exclusió, i “del colomar”), abans d'explicar la classificació dels problemes de combinatòria o bé la introducció al càlcul elemental de probabilitats, (gairebé sempre fent ús de l'eficàcia didàctica dels diagrames d'arbre o dels diagrames de cel·les), i poso alguns exemples molt elementals, m'adono - sistemàticament: en diversos cursos i diferents centres - que hi ha aspectes elementals del recompte que encara no tenen molt ben assumits, fins i tot al final de l'etapa.

Per exemple, a la pregunta “quants nombres consecutius hi ha entre els nombres més grans o iguals que 1000 i més petits o iguals que 9999 ? ” contesten ràpidament: “8999”. Quants els dic que aquest resultat és incorrecte (n'hi ha 9000, no pas 8999), i que si, a més a més, es prenen la molèstia de fer el càlcul de manera alternativa: fent ús del principi de multiplicació, trobaran efectivament, nou mil nombres (nou maneres d'escollir la xifra de milers , deu per escollir la de les centenes, deu per escollir les desenes, i deu per escollir les unitats: 9x10x10x10 = 9000). Tot seguit, els alumnes - escèptics, i una mica a contracor - revisen el senzill i natural càlcul basat en el fet que els nombres que compten són consecutius: ("9999 – 1000 = 8999" tal i com tendeixen a fer gairebé tots), mantenint - ara, ja amb menys seguretat - la seva resposta: "8999", tot i comprovar que mitjançat l'altre mètode els surt un nombre més, 9000. Es queden una mica estranyats: “d'on surt el nombre que falta ?”, es pregunten. Llavors, arriba el moment de fer-los veure que alguna cosa no fan bé si es limiten a fer la diferència entre el més gran i el més petit per fer el recompte del conjunt de nombres consecutius. Els plantejo: “quants nombres compteu, per exemple, entre 5 i 8, (ambdós inclosos) ?”. Naturalment, s'adonen que han de ser quatre: el cinc, els sis, el set, i el vuit i – és clar – comencen a entendre què és el que passa, perquè s'adonen – amb paciència, tota la classe – que no n'hi ha prou en fer la resta entre el més gran i el més petit (vuit menys cinc és igual a tres: en falta un !) ... Poc a poc es van adonant d'allò que encara fan malament: “cal sumar una unitat més al resultat de la resta, no ho veieu ? ”, els dic (és un simple cas d'exercici d'inducció). Al final, acaben entenen que hi ha n-m+1 nombres enters consecutius entre els nombres m i n (m < n), ambdós inclosos.

Una altra dificultat molt corrent relacionada d'alguna manera amb els processos de recompte es presenta, per exemple, quan els demano que calculin la distància entre el primer i l'últim arbre d'una fila de 10 arbres, cada un plantat a la mateixa distància del veí de la dreta i del de l'esquerra que, posem, per exemple, que és de quatre metres. “Quaranta metres”, contesten impetuosament una bona colla. “I si només fossin dos arbres ?” - intento fer-los entendre que tornen a pensar malament el càlcul (i aquest torna a ser ben senzill) - "Si el càlcul que feu és correcte heu de contestar que hi ha una distància de 2x4 = 8 metres i, per contra, és evident que la distància és de quatre metres (la de separació entre els dos únics arbres)" ... De seguida, els més atents acaben contestant: “Ah, ja ho entenc: el nombre d'espais és un menys que el d'arbres: 9; per tant, la fila té una longitud de 9x4, és a dir, trenta-sis metres” [...]

nota d'autoria