Enunciat:
Poseu un exemple de funció que no sigui de proporcionalitat directa (concreteu l'equació $y=f(x)$ ).
Resolució:
Qualsevol funció que no sigui del tipus
$f(x)=m\,x+k$ (funció lineal afí)
com ara (exemple)
$f(x)=x^2$ (funció quadràtica)
expressa una relació de no proporcionalitat (no linealitat) entre les variables $x$ i $y$; per tant, en aquests casos, no podrem resoldre problemes plantejant simples proporcions entre els valors de les variables.
$\square$
Enunciat:
Considereu la funció $f(x)=4\,x+1$. Raoneu les següents qüestions:
a) passa per l'origen de coordenades (funció lineal) o bé talla a l'eix ordenadades en un altre punt (funció lineal afí) ?
b) és una funció de proporcionalitat directa ?
Resolució:
a) El traç de la funció no passa pel l'origen de coordenades perquè $f(0) = 1 \neq 0$
Per altra banda la funció és del tipus
$f(x)=m\,x+k$
que és l'equació d'una recta de pendent $m=4$ i ordenada a l'origen $k=1$
per tant la funció donada $f$ és una funció lineal afí (el traç de la funció és una recta que no passa per l'origen de coordenades)
b) Hem vist a l'apartat anterior que el traç de la funció de l'enunciat és una recta, per tant la dependència entre les variables (v. independent $x$ i v. dependent $y$) és de proporcionalitat directa, atès que donats tres punts qualssevol d'aquesta recta:
$A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ i $C(x_C,y_C)$
es compleix la relació de proporcionalitat
$\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=m$
on $m$ és el pendent de la recta
$\square$
Enunciat:
Caculeu el valor del pendent i de l'ordenada a l'origen de la recta que passa pels punts $A(-3,1$ i $B(4,1)$.
Resolució:
Com que $r:\,y=1$ és una recta paral·lela a l'eix abscisses, el pendent és igual a $0$; i, tots els punts (de la recta) tenen ordenada igual a $1$, l'ordenada a l'origen també és igual a $1$
$\square$
Representeu gràficament les següents funcions:
a) $f(x)=-\dfrac{1}{2}\,10^{-x+3}$
b) $g(x)=\left|\sqrt{x-2}\right|$
c) $h(x)=\sqrt[3]{1-x}$
a)
Representeu gràficament les següents funcions:
a) $f(x)=-x^2+x+2$
b) $g(x)=3\,(x+2)^2-1$
c) $h(x)=-2\,(x-1)^3+2$
a)
Trobeu el domini d'existència (domini de definició) i el recorregut de les funcions:
a) $f(x)=2x+3$
b) $g(x)=3^{x+1}-1$
c) $h(x)=2\,\ln{(x-1)+2}$
Propietat:
Per trobar el recorregut d'una funció $f$, de funció recíproca igual a $f^{-1}$, podem fer servir la següent propietat:
$R_f=D_{f^{-1}}$
a)
La funció $f$ és una funció lineal afí, llavors tant el domini d'existència com el recorregut correspon al conjunt dels nombres reals, sense restriccions:
$D_{f}=\mathbb{R}$ , $R_{f}=D_{f^{-1}}=[0,\infty) \subset \mathbb{R}$
b)
El domini d'existència de la funció $g$ és
$D_{g}=[2,\infty) \subset \mathbb{R}$
La funció recíproca de $g$ és
$g^{-1}(x)=\frac{\ln{(x+1)}}{\ln{3}}-1$
Com que l'argmuent del logaritme ha de ser positiu
$D_{g^{-1}}=(-1,\infty) \subset \mathbb{R}$
fent ús de la propietat comentada al començament tenim que
$R_{g}=D_{g^{-1}}=(-1,\infty) \subset \mathbb{R}$
c)
El domini d'existència de la funció $h$ és
$D_{h}=\mathbb{R}$
La funció recíproca de $h$ és
$\displaystyle h^{-1}(x)=e^{\frac{x-2}{2}}+1$
No hi ha cap restricció en el conjunt de nombres reals, per tant, el seu domini d'existència és
$D_{h^{-1}}=\mathbb{R}$
fent ús de la propietat comentada al començament tenim que
$R_{h}=D_{h^{-1}}=\mathbb{R}$
$\square$
Trobeu el domini d'existència (domini de definició) i el recorregut de les funcions de l'exercici 1
a) $D_{f}=\mathbb{R}$
b) $D_{g}=\mathbb{R}$
c) $D_{h}=(1,\infty) \subset \mathbb{R}$
Representeu gràficament les següents funcions:
a) $f(x)=2x+3$
b) $g(x)=3^{x+1}-1$
c) $h(x)=2\,\ln{(x-1)+2}$
a)
Representeu gràficament les següents funcions:
a) $f(x)=2x+3$
b) $g(x)=3^{x+1}-1$
c) $h(x)=2\,\ln{(x-1)+2}$
Trobeu el domini d'existència (domini de definició) i el recorregut de les funcions de l'exercici 1
Representeu gràficament les següents funcions:
a) $f(x)=-x^2+x+2$
b) $g(x)=3\,(x+2)^2-1$
c) $h(x)=-2\,(x-1)^3+2$
Representeu gràficament les següents funcions:
a) $f(x)=-\dfrac{1}{2}\,10^{-x+3}$
b) $g(x)=\left|\sqrt{x-2}\right|$
c) $h(x)=\sqrt[3]{1-x}$
Trobeu el domini d'existència (domini de definició) i el recorregut de les funcions de l'exercici 4
Sense fer cap gràfic, esbrineu si els punts $A(1,3)$, $B(-1,-1)$ i $C(0,1)$ estan alineats
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]Sense fer cap gràfic, esbrineu si els punts $A(2,6)$, $B(-1,4)$ i $C(-1,1)$ estan alineats
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]Els punts $A(-3,1)$ i $B(4,1)$ es situen damunt d'una recta. Determineu l'equació d'aquesta recta.
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]Caculeu el valor del pendent i de l'ordenada a l'origen de la recta de l'exercici anterior.
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)] Considereu la funció $f(x)=4\,x+1$. Raoneu les següents qüestions:
a) passa per l'origen de coordenades (funció lineal) o bé talla a l'eix ordenadades en un altre punt (funció lineal afí) ?
b) és una funció de proporcionalitat directa ?
Poseu un exemple de funció que no sigui de proporcionalitat directa (concreteu l'equació $y=f(x)$ ).
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Enunciat:
Trobeu l'equació de la recta que passa pels punts $A(-3,1)$ i $B(4,1)$
Resolució:
Observem que $y_A=y_B=1$; per tant, tots els altres punts $P(x,y)$ de la recta que passa per $A$ i $B$ tenen ordenada igual a $1$. És a dir, són els punts de coordenades $P(x,1)$ ( per a qualsevol valor de $x$ ). L'equació d'aquesta recta $r$ és, doncs,
$r:\,y=1$
$\square$
Enunciat:
Sense fer cap gràfic, esbrineu si els punts $A(2,6)$, $B(-1,4)$ i $C(-1,1)$ estan alineats.
Resolució:
Si estan alineats s'ha de complir que
$\dfrac{x_A-x_B}{y_A-y_B}=\dfrac{x_A-x_C}{y_A-y_C}=\dfrac{x_B-x_C}{y_B-y_C}$
Calculant el valor dels membres d'aquestes igualtats trobem
$1 \neq \dfrac{3}{5} \neq 0$
Per tant, concloem que no estan alineats, és a dir, no hi ha cap recta que passi per tots tres punts.
$\square$
Enunciat:
Sense fer cap gràfic, esbrineu si els punts $A(1,3)$, $B(-1,-1)$ i $C(0,1)$ estan alineats.
Resolució:
Si estan alineats s'ha de complir que
$\dfrac{x_A-x_B}{y_A-y_B}=\dfrac{x_A-x_C}{y_A-y_C}=\dfrac{x_B-x_C}{y_B-y_C}$
Calculant el valor dels membres d'aquestes igualtats trobem
totes tres raons tenen el mateix valor, que és igual a
$\dfrac{1}{2}$
Per tant, concloem que aquests tres punts estan alineats, és a dir, hi una recta que passa per tots tres punts.
$\square$
Considerant la superfície de la Terra com una esfera (superfície esfèrica) ens introduïrem, ara, en el món de les geometries no euclidianes, resolent el següent problema pràctic de geometria esfèrica:
Problema:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).
Resoldrem aquest problema al final de l'escrit i exposarem un exemple concret. Per això, primer de tot, cal que exposem algunes nocions essencials i els conceptes bàsics de la geometria esfèrica. Tot seguit, justificarem unes fórmules trigonomètriques vàlides per als triangles esfèrics (no ens estendrem a parlar d'altres que no necessitarem aquí): les igualtats de Bessel (grup I), les quals justificarem a partir de les relacions elementals de la trigonometria plana (Figura 2). Aquestes igualtats ens permetran arribar a la solució del problema pràctic plantejat al començament.
Hem vist que la geometria de la superfície d'una esfera és un cas concret de geometria no euclidiana; és un cas particular de geometria el·líptica [un cas particular de g. de Riemann (1826-1866)] que, en particular, en el cas de l'esfera, s'anomena geometria esfèrica.
En una esfera, anomenem cercle màxim a la secció que s'obté en intersectar un que passi pel centre de l'esfera amb la superfície d'aquesta. Un triangle esfèric és, doncs, la intersecció de tres circumferències corresponents als respectius cercles màxims.
Considerarem un triangle esfèric, com ara el triangle $ABC$ (Figura 1). Els punts $A$, $B$ i $C$ s'anomenen vèrtexs del triangle esfèric, i els costats $a$, $b$ i $c$ són els costats del mateix que, donat que representen arcs de circumferència, els podem mesurar donant la magnitud del seu angle central. Per altra banda, els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ corresponen als angles que formen els plans que tallen l'esfera i passen pel seu centre:
$\alpha \equiv \angle (OAC, OAB)$
$\beta \equiv \angle (OBC, OAB)$
$\gamma \equiv \angle (OAC, OBC)$
Els costats d'aquest triangle (esfèric) són arcs de cercles màxims. Una propietat elemental a remarcar és la que fa referència a la suma dels angles d'un triangle esfèric: $\alpha + \beta + \gamma \ge 180º$, un símptoma clar que aquesta geometria ja no és la euclidiana.
Donada una superfície, anomenem geodèsica a la corba que uneix dos punts de la mateixa pel camí més curt possible. En una esfera, aquesta corba és el contorn del cercle màxim (circumferència) que passa per tots dos punts.
Analitzant acuradament el triangle esfèric de la Figura 2 deduirem un conjunt de tres fórmules que expressen una relació entre els costats del triangle ($a$, $b$ i $c$) i els angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$) i que ens permetran resoldre el problema plantejat al començament de l'escrit. Val a dir que aquestes tres igualtats [grup I de Bessel (Friedrich Bessel, 1784-1846] no són pas les úniques relacions que es poden deduir; aquí - per tal de no estendre'ns en excés - tan sols farem ús de les que necessitem.
Observem (Figura 2) que
$\overline{OT}=\overline{OM}+\overline{MT} \quad \quad (1)$
Representació del triangle esfèric ABC. El sistema de referència, format per l'origen de coordenades $O$ (situat al centre de l'esfera) i els eixos perpendiculars $Ox$, $Oy$ i $Oz$, configura el triedre de plans perpendiculars Oxy, Oxz i Oyz. Hem girat convenientment el sistema de referència per tal que - no hi ha pèrdua de validesa en això - un dels vèrtexs del triangle esfèric es trobi damunt d'un dels tres eixos (en el cas de la figura, el vèrtex $C$ es troba damunt l'eix Oy) i un dels costats del triangle es trobi damunt d'un dels plans (en el cas de la figura, el costat $a$ es troba damunt del pla Oxy.
Tenint en compte els triangles rectangles plans
$\triangle{OMR}$
i
$\triangle{RNS}$
podem escriure les raons trigonomètriques de l'angle $a$
$\cos{a}=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OR}}$
i
$\sin{a}=\dfrac{\overline{MT}}{\overline{RS}}$
substiuint aquestes expressions a (1) trobem
$\overline{OT}=\overline{OR}\cdot \cos{a}+\overline{RS}\cdot \sin{a} \quad \quad (1')$
per altra banda, dels triangles $\triangle{OTA}$, $\triangle{ORA}$ i $\triangle{RSA}$, podem escriure
$\cos{b}=\dfrac{\overline{OT}}{\overline{OA}}$
$\cos{c}=\dfrac{\overline{OR}}{\overline{OA}}$
$\sin{c}=\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RO}}$
i
$\cos{\beta}=\dfrac{\overline{RS}}{\overline{RA}}$
on $\beta$ designa l'angle $\angle(SRA)$
llavors, la igualtat (1') es pot escriure de la forma
$\overline{OA} \cdot \cos{(b)}=\overline{OA} \cdot \cos{(c)}\,\cos{(a)}+\overline{OA} \cdot \sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)}$
i, simplificant, arribem a una de les tres igualtats de la trigonometria esfèrica
grup I de Bessel que es coneix com a grup I de Bessel:
$\cos{(b)}=\cos{(c)}\,\cos{(a)}+\sin{(c)}\,\sin{(a)}\,\cos{(\beta)} \quad \quad (I1)$
Si permutem els costats (i angles) de la fórmula, podem escriure dues relacions més
$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)} \quad \quad (I2)$
$\cos{(c)}=\cos{(a)}\,\cos{(b)}+\sin{(a)}\,\sin{(b)}\,\cos{(\gamma)} \quad \quad (I3)$
Quan ens referim a la superfície de la Terra, es coneix també com a problema del càlcul de la longitud de l'ortodròmica (Navegació) al problema que, ara, resoldrem fent ús del que s'ha dit anteriorment.
Recordem l'enunciat del problema plantejat al començament de l'escrit:
Donats dos punts $P_1(l_1,L_1)$ i $P(l_2,L_2)$ de la superfície de la Terra (on $l$ representa la latitud de d'un punt i $L$ la seva longitud), ens proposem trobar la longitud de camí que enllaça els punts $P_1$ i $P_2$, sobre la corba de longitud mínima (dibuixada sobre l'esfera).
Entendrem que, aquí, en aquest problema, els vèrtexs del triangle esfèric (figures 1 i 2) tenen els següent significat:
Fem coincidir $A$ amb el Pol Nord geogràfic
El vèrtex $B$ correspon al punt de la trajectòria ortodròmica $P_{1}(l_1,L_1)$ (un dels extrems de la geodèsica)
El vèrtex $C$ correspon al punt $P_{2}(l_2,L_2)$ (l'altre extrem de la geodèsica)
El costat $a$ representa representa la longitud del camí entre els dos extrems de la geodèsica (distància mínima entre tots dos punts) que anomenarem $s$ (longitud de l'ortodròmica entre aquest dos punts). El valor de la magnitud de $s$ entre els dos punts $P_1$ I $P_2$, la trobarem, primer, expressada en unitats angulars, per bé que, al final, la convertirem a unitats de longitud, tenint en compte l'equivalència entre les untitats angulars d'arc de circumferència de cercle màxim - és a dir, de meridià (geodèsica de la superfície d'una esfera) - i les unitats de longitud d'arc.
Llavors, partint de la igualtat (I2)
$\cos{(a)}=\cos{(b)}\,\cos{(c)}+\sin{(b)}\,\sin{(c)}\,\cos{(\alpha)}$
i tenint en compte el significat concret dels elements del triangle que acabem d'explicar quan el vèrtex $A$ el fem coincidir amb el Pol Nord cal escriure:
$b=90º-l_1$ i, per tant, $\cos{(b)}=\sin{(l_1)}$ i $\sin{(b)}=\cos{(l_1)}$
$c=90º-l_2$ i, per tant, $\cos{(c)}=\sin{(l_2)}$ i $\sin{(c)}=\cos{(l_2)}$
Per altra banda, $\alpha$ representa la diferència de longituds entre els dos extrems del camí $P_1$ i $P_2$
és a dir
$\alpha=\left|L_1-L_2\right|$, que anomenarem $\Delta \, L$
A partir de tot això ja tenim el càlcul a punt:
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$
Tindrem en compte que el valor de la latitud d'un punt sobre la superfície de l'esfera és positiu si el punt es troba a l'hemisferi Nord; i negatiu, si es troba a l'hemisferi Sud. No cal dir que la coordenada de longitud (el valor de $L$) cal donar-les també amb el signe corresponent (positiva si es troba a l'Est del meridià zero, i negativa si es troba a l'Oest d'aquest meridià de referència).
Per acabar, i anomenant $k$ al valor del segon membre de la igualtat anterior [ $\cos{s}=k$ ($-1 \le k \le 1$ ] trobarem el valor de $s$ fent ús de la recíproca de la funció cosinus:
$s = \arccos{k}$ (prenent valors entre 0º i 360º)
Per calcular la longitud d'arc de cercle màxim entre dos punts (del camí sobre la geodèsica) en unitats de longitud, tindrem en compte que $1'$ d'arc de meridià terrestre [ la longitud d'un meridià és igual a la de la circumferència d'un cercle màxim ] equival a $1 \, \text{milla \, nàutica}$ ( $1 \, \text{milla \, nàutica} \approx 1\,852 \, m$ ).
Enunciat:
Determineu la distància sobre la geodèsica $s$ entre els punts:
$P_1$, de coordenades $l_1=-5º \, \text{S}$, $L_2=40º \, \text{E}$
i
$P_2$, de coordenades $l_1=45º \, \text{N}$, $L_2=60º \, \text{W}$
Resolució:
Tenint en compte que $\Delta L = |40º-(60º)|= 100º$
així com les dades de les latituds, la fórmula de Bessel
$\cos{(s)}=\sin{(l_1)}\,\sin{(l_2)}+\cos{(l_1)}\,\cos{(l_2)}\,\cos{(\Delta\,L)}$
ens dóna el següent valor
$\cos{(s)}=\sin{(-5º)}\,\sin{(45º)}+\cos{(-5º)}\,\cos{(45º)}\,\cos{(100º)}$
és a dir
$\cos{(s)}\approx -0,1839$
per tant
$s = \arccos{(-0,1839)} \approx 100,5999º$
i convertint a minuts d'arc de meridià (de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) multiplicant per $60$ (minuts que té cada grau) trobem
$s \approx 6036 \,'$
i com que $1'$ d'arc de meridià (i, en general, de circumferència de cercle màxim [geodèsica]) equival a $1 \, \text{milla nàutica}$
el camí entre els dos punts té una longitud de $6036 \, \text{milles \, nàutiques}$
Si ho volem expressar en quilòmetres, cal recordar que $1' \, \text{(d'arc de meridià)} = 1 \, \text{milla nàutica} \approx 1\,852 \, \text{m} $
per tant
$s \approx 11\,179 \, \text{km}$
$\square$
Enunciat:
El costat més llarg d'un rectangle fa dos metres més que el més curt. Sabem que el perímetre d'aquest rectangle mesura $16 \, \text{dm}$. Quant val l'àrea del rectangle ?.
Resolució:
Si anomenem $x$i $y$ a les longituds dels costats desiguals del rectangle, i considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} 2x+2y = 16 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$
simplificant la primea equació el podem escriure de forma més senzilla
$\left.\begin{matrix} x+y = 8 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable
$y+2+y=8$
que equival a
$2y=8-2$
és a dir
$2y=6$
d'on trobem que
$y=3 \, \text{dm}$
i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=8-3$
és a dir
$x=5 \, \text{dm}$
Ara ja podem calcular l'àrea del rectangle, multiplicant les longituds dels dos costats
$A=5 \cdot 3 = 15 \, \text{dm}^2$
$\square$
Enunciat:
La suma de dos nombres naturals és igual a $106$ i en dividir el més gran entre el més petit obtenim $2$ de quocient i $10$ de residu. Trobeu aquests nombres.
Resolució:
Considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x+y = 106 \\ x = 2y+10\\ \end{matrix}\right\}$
on la segona equació es refereix a la propietat fonamental de la divisió
dividend = divisor · quaciente + residu
Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable
$2y+10+y=106$
que equival a
$3y=96$
d'on trobem que
$y=32$
i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=110-32$
és a dir
$x=78$
$\square$
Enunciat:
La suma de dos nombres naturals és igual a $110$ i la diferència entre el més gran i el més petit és igual a $68$. Determineu aquests nombres.
Resolució:
Considerant que $x>y$, podem plantejar el següent sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x+y = 110\\x-y=68\\ \end{matrix}\right\}$
sumant membre a membre arribem a l'equació on, havent-se anul·lat el terme en $y$, porta a una equació amb una sola variable
$2x=178$
aïllant $x$ trobem
$x=\dfrac{178}{2}$
i dividint
$x=89$
y, per acabar, el valor de $y$ ha de ser igual a
$y=110-89$
que és igual a $21$
$\square$
Enunciat:
Expresseu en el llenguatge de l'àlgebra:
a) el deu per cent del vint per cent d'una quantitat
b) el quadrat de la suma de dos nombres
c) la suma dels quadrats de dos nombres
d) dues terceres parts de les quatre cinquenes parts d'una quantitat
Resolució:
Recordem que cal posar una lletra a cada quantitat de la qual ens parli l'enunciat.
apartat a) el deu per cent del vint per cent d'una quantitat
Expressió algèbrica:
$\dfrac{10}{100}\,x$
que, simplificant, també podem escriure l'expressió de la forma
$\dfrac{x}{10}$
$\square$
apartat b) el quadrat de la suma de dos nombres
Expressió algèbrica:
$(x+y)^2$
$\square$
apartat c) la suma dels quadrats de dos nombres
Expressió algèbrica:
$x^2+y^2$
$\square$
apartat d) dues terceres parts de les quatre cinquenes parts d'una quantitat
$\dfrac{2}{3} \Big(\dfrac{4}{5}\,x \Big)$
que és igual a
$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5}\,x$
és a dir
$\dfrac{8}{15} \,x$
$\square$
Enunciat:
Resoleu les següents equacions polinòmiques de 2n grau:
a) $2x+4=8$
b) $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
c) $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$
d) $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$
e) $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$
Resolució:
Recordem que resoldre una equació consisteix a fer les operacions algebraiques necessàries per anar obtenint equacions equivalents, cada vegada més senzilles, fins que, finalment, ens queda la variable aïllada (tota sola) en un dels membres de la igualtat.
apartat a) $2x+4=8$
Agrupant els termes numèrics al 2n membre
$2x=8-4$
i dividint ambdós membre per $2$ podrem aïllar la variable
$x=\dfrac{8-4}{2}$
que és igual a $2$
$\square$
apartat b) $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
Fem ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma per desfer els parèntesis
$3-3x=2x-2$
agrupant els termes literals en un dels costats de la igualtat, i els numèrics a l'altre
$3+2=3x+2x$
sumant els termes semblants
$5=5x$
i dividint ambdós membres per $5$ trobem el valor de la lletra $x$ que compleix la igualtat original
$x=\dfrac{5}{5}=1$
$\square$
apartat c) [mètode I]
$\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$
Dividint ambdós membres de la igualt per
$\dfrac{2}{3}$
aconseguirem aïllar la variable
$x=\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}}$
operació de divisió que, amb l'ajut de la tecla de càlcul de fraccions de la calculadora, queda
$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$
apartat c) [mètode II]
Una altra via de resolució és la següent. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(3,6)=6$ ) podem escriure una equació equivalent a l'original, que té l'aventatge que els coeficients, ara, són nombres enters
$6\cdot \dfrac{2}{3}\,x=6\cdot \dfrac{5}{6}$
simplificant ens queda
$4x=5$
i dividint ambdós membres de la igualtat per $4$ amb l'objectiu d'aïllar la variable trobem
$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$
apartat d)
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$
Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(2,4,6,3)=12$ )
$12 \cdot \dfrac{x}{2}+12 \cdot \dfrac{1}{4}=12 \cdot \dfrac{5}{6}-12 \cdot \dfrac{2x}{3}$
Simplificant
$6x+3=10-8x$
Agrupant els termes literals en un mateix membre, i els termes numèrics a l'altre
$6x+8x=10-3$
sumant els termes semblants
$14x=7$
i dividint ambdós membres per $14$ podem escriure
$x=\dfrac{7}{14}$
resultat que, simplificat, queda
$x=\dfrac{1}{2}$
$\square$
apartat e)
$\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$
Multiplicant les fraccions dels primer membre i simplificant trobem
$1=\dfrac{x}{2}$
i multiplicant tots dos membres per $2$ podrem aïllar la variable
$x=2$
$\square$
Enunciat:
Calculeu la mesura del costat d'una habitació quadrada, tenint en compte la següent informació. Una altra habitació (que té forma rectangular) fa $9\, \text{m}^2$ menys de superfície (que l'habitació quadrada); i, tenint la meitat d'amplada (que l'habitació quadrada), la seva llargada fa $3\,\text{m}$ més (que la de l'habitació quadrada)
Resolució:
Si anomenem $x$ a la longitud del costat de l'habitació quadrada, l'àrea d'aquesta és igual a $x^2$; i, tenint en compte la informació de l'enunciat, l'àrea de l'habitació rectangular ha de ser igual a
$\dfrac{x}{2}\,(x+3)$
Com que l'àrea de l'habitació quadrada és $9 \,\text{m^2}$ més petita que l'àrea de l'habitació rectangular, podem plantejar l'equació
$x^2-9=\dfrac{x}{2}\,(x+3)$
reduint a comú denominador
$2x^2-18=x^2+3x$
agrupant en un mateix membre de la igualtat, sumant els termes semblants (del mateix grau), i ordenant de grau més gran a grau més petit, escriurem aquesta equació de 2n grau completa ( de la forma $ax^2+bx+c=0$ ) per aplicar el el procediment que ens ha de permetre trobar els valors de la solució
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
on els coeficients, ara, prenen els següents valors
$a=1$
$b=-3$
$c=-18$
tenim
$x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -3\\ \\6\\ \end{matrix}\right.$
És obvi que el primer valor (un nombre negatiu) no té sentit com a solució del problema (malgrat sigui un dels valors de la solució de l'equació) atès que la longitud és una magnitud positiva. La solució del problema la dóna el segon valor $6 \, \text{m}$
$\square$
Enunciat:
El producte de dos nombres parells consecutius és igual a 224. Determineu aquest nombres.
Resolució:
Si anomenem $n$ a un dels dos nombres, a l'altre li haurem de dir $n+2$
i d'acord amb l'enunciat, plantejarem la següent equació
$n \, (n+2)=224$
desfent el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), agrupant en un mateix membre de la igualtat, i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, escriurem l'equació anterior de la forma
$n^2+2n-224=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$an^2+bn+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=2$
$c=-224$
tenim
$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-224)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -16\\ \\14\\ \end{matrix}\right.$
Per tant, trobem dos parells de nombres com a solució del problema (una parella de nombres negatius) i una altra de nombres positius:
si $n=-16$, llavors $m=-14$ (que és el nombre parell consecutiu a $-16$)
si $n=14$, llavors $m=16$ (que és el nombre parell consecutiu a $14$)
$\square$
Enunciat:
Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle, sabent que són tres nombres parells consecutius.
Resolució:
En un triangle rectangle s'ha de complir el teorema de Pitàgores: el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadratas de les longituds del catets.
Si anomenem $n$ a la longitud de la hipotenusa (un nombre parell), designarem les longituds dels dos catets de la forma $n-2$ i $n-4$, respectivament (tenim en compte tota la informació de l'enunciat: totes tres longituds són nombres positius i parells - nombres naturals, doncs; i, a més, són parells consecutius).
Pel teorema de Pitàgores
$n^2=(n-2)^2+(n-4)^2$
desenvolupant les potències dels binomis
$n^2=n^2-4n+4+n^2-8n+16+(n-4)^2$
agrupant en un mateix membre i simplificant
$n^2-12n+20=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$ax^2+bx+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=-12$
$c=20$
tenim
$x=\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} 2\\ \\10\\ \end{matrix}\right.$
El primer valor no té sentit per al problema que volem resoldre, perquè representant $n$ la longitud de la hipotenusa, portaria als les següents longituds dels catets (nombres parells precedents): $0$ i $-2$ (longitud negativa !), que, és clar que no té cap sentit.
El segon valor és el bo: si $n=10 \, \text{m}$, llavors les longituds dels dos catets són $8 \, \text{m}$ i $6 \, \text{m}$, respectivament.
$\square$
Enunciat:
Per tancar una finca rectangular de $750 \, \text{m}^2$ s'han fet servir $110\, \text{m}$ de fil (a mode de tanca). Calculeu les dimensions de la finca.
Resolució:
Tenint en compte que l'àrea $x\cdot y$ és igual a $750 \, \text{m}^2$, i que el perímetre $2(x+y)$ val $110\, \text{m}$ podem plantejar el següent sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x\,y = 750\\2\,(x+y)=110\\ \end{matrix}\right\}$
simplificant la segona equació queda
$\left.\begin{matrix} x\,y = 750\\x+y=55\\ \end{matrix}\right\}$
Aïllant $y$ de la segona equació
$y=55-x$
i substituint a la primera
$x\,(55-x)=750$
desfent el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), agrupant els termes en un mateix membre de la igualtat i ordenant-los de grau més gran a grau més petit, escriurem l'equació de 2n grau completa
de la forma
$ax^2+bx+c=0$
és a dir
$x^2-55x+750=0$
preparada, doncs, per poder aplicar el procediment general que ens dóna el resultat
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=-55$
$c=750$
tenim
$x=\dfrac{- (-55) \pm \sqrt{(-55)^2-4\cdot 1 \cdot 750}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} 25\\ \\30\\ \end{matrix}\right.$
Llavors, substituint a la primera equació per poder trobar els valors corresponents de la variable $y$ trobem que
si $x=25$, $y=30$
si $x=30$, $y=25$
i concloem, doncs, que les longituds dels costats desiguals de la finca rectangular mesures
$25 \, \text{m}$ y $30 \, \text{m}$, respectivament.
$\square$
Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica:
$y^2+2y-6x+1=0$
Resolució:
Veiem - fàcilment - que podem escriure l'equació de la forma
$(y+1)^2=6x \quad \quad (1)$
i, per tant, és obvi que correspon a una paràbola, que, en forma canònica (estàndard) és del tipus
$y^2=2px \quad \quad (2)$
que té el vèrtex situat a l'origen de coordenades, el focus en el punt
$(\dfrac{p}{2},0)$
i recta directriu d'equació
$x=-\dfrac{p}{2}$
En el cas que ens ocupa, el vèrtex es situa en el punt de coordenades $(-1,0)$, atès que (1) es pot posar de la forma
$\big(y-(-1)\big)^2=6x$
Per comparació de (1) i (2) trobem que
$2p=6$
és a dir
$p=3$
Llavors, considerant la translació [ de vector de translació $\vect{t}=(x_V,y_V)$, amb $x_V=0$ i $y_V=-1$ ] que transforma la paràbola donada per (2) en la paràbola donada per (1), el focus de la paràbola (1) ve donat per
$F(p/2,0+y_V)$
i com que el valor de $p/2$ és igual a $3/2$
$x_V=0$ i $y_V=-1$
és el punt
$F(\dfrac{3}{2},-1)$
la recta directriu corresponent a (2) - i també a (1) - té per equació
$rd:\,x=-\dfrac{p}{2}$
és a dir
$rd:\,x=-\dfrac{3}{2}$
$\square$
